Διαστολή του χρόνου: γιατί η ταχύτητα σε κρατά νεότερο

Αν θες να γερνάς πιο αργά από τους υπόλοιπους στη Γη, έχεις δύο επιλογές: ή να ταξιδέψεις στο διάστημα με ακραίες ταχύτητες, ή να ζεις κοντά σε μια πολύ ισχυρή πηγή βαρύτητας. Σύμφωνα με τις θεωρίες της σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν, ο χώρος και ο χρόνος δεν είναι ξεχωριστά, σταθερά μεγέθη. Είναι υφασμένα μαζί σε ένα ενιαίο, δυναμικό ύφασμα, και ο ρυθμός με τον οποίο κυλά ο χρόνος εξαρτάται από την κίνηση και τη βαρύτητα του κάθε παρατηρητή. Αυτό το «τέντωμα» του χρόνου το λέμε διαστολή του χρόνου.

Δορυφόρος GPS — τα ατομικά του ρολόγια διορθώνονται για τη διαστολή του χρόνου

Δορυφόρος GPS — τα ατομικά του ρολόγια διορθώνονται για τη διαστολή του χρόνου — U.S. Air Force · Public domain · μέσω Wikimedia Commons

Ειδική σχετικότητα: ο παράγοντας Λόρεντς

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας (1905) ξεκινά από μία αρχή: η ταχύτητα του φωτός στο κενό ( $c \approx 299.792\ \text{χλμ/δευτ}$ ) είναι σταθερή για κάθε παρατηρητή, όσο γρήγορα κι αν κινείται. Για να μείνει σταθερή η ταχύτητα του φωτός, πρέπει ο ίδιος ο χρόνος να «τεντώνεται» ανάλογα με την ταχύτητα.

Τη σχέση ανάμεσα στον χρόνο που μετρά ένας ακίνητος παρατηρητής ( $t$ ) και στον χρόνο που μετρά ένας κινούμενος ( $t'$ ) την καθορίζει ο παράγοντας Λόρεντς ( $\gamma$ ):

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Ο διασταλμένος χρόνος προκύπτει ως εξής:

$t' = \frac{t}{\gamma} = t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Στις καθημερινές ταχύτητες (αυτοκίνητο, αεροπλάνο): η ταχύτητα $v$ είναι ασήμαντη μπροστά στο $c$ , οπότε $v^2/c^2 \approx 0$ και $\gamma \approx 1$ . Ο χρόνος κυλά ουσιαστικά το ίδιο για όλους.
Στις σχετικιστικές ταχύτητες (κοντά στο φως): καθώς το $v$ πλησιάζει το $c$ , ο όρος $1 - v^2/c^2$ πλησιάζει το μηδέν και το $\gamma$ εκτοξεύεται. Ο χρόνος επιβραδύνεται δραματικά για τον κινούμενο.

Η απόδειξη στην πράξη: τα μιόνια

Δεν πρόκειται για θεωρητική φαντασίωση — το επιβεβαιώνουν καθημερινά κάποια υποατομικά σωματίδια, τα μιόνια:

Τα μιόνια είναι ασταθή σωματίδια που γεννιούνται όταν κοσμικές ακτίνες χτυπούν τα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας (περίπου στα 15 χλμ ύψος).
Έχουν ελάχιστο χρόνο ζωής, μόλις 2,2 μικροδευτερόλεπτα ( $2.2 \times 10^{-6}\ \text{s}$ ).
Ακόμη κι αν κινούνται σχεδόν με την ταχύτητα του φωτός, θα έπρεπε να διασπαστούν αφού διανύσουν μόλις 660 μέτρα — δηλαδή δεν θα έφταναν ποτέ στο έδαφος.
Κι όμως, οι ανιχνευτές στη Γη τα καταγράφουν κατά δισεκατομμύρια. Γιατί; Επειδή ταξιδεύουν στο $99.8\%$ της ταχύτητας του φωτός, με παράγοντα Λόρεντς $\gamma \approx 16$ . Ο χρόνος για αυτά κυλά 16 φορές πιο αργά, κι έτσι προλαβαίνουν να φτάσουν κάτω.

Γενική σχετικότητα: η βαρυτική διαστολή του χρόνου

Στη γενική θεωρία της σχετικότητας (1915), ο Αϊνστάιν έδειξε ότι και η βαρύτητα διαστέλλει τον χρόνο. Η μάζα παραμορφώνει τον χωροχρόνο, κι όπου η βαρύτητα είναι ισχυρότερη, ο χρόνος κυλά πιο αργά.

Ένα ρολόι στην επιφάνεια της θάλασσας (πιο κοντά στο κέντρο της Γης) χτυπά ελάχιστα πιο αργά από ένα ρολόι στην κορυφή ενός βουνού.
Κοντά σε μια μαύρη τρύπα, όπου η βαρύτητα είναι ασύλληπτα ισχυρή, η διαστολή γίνεται ακραία. Κάποιος που θα παρακολουθούσε έναν άλλον να πέφτει μέσα στη μαύρη τρύπα, θα έβλεπε το ρολόι του να επιβραδύνεται όλο και πιο πολύ, ώσπου να «παγώσει» εντελώς στον ορίζοντα γεγονότων.

GPS: όταν η σχετικότητα γίνεται καθημερινή ανάγκη

Αν δεν διορθώναμε και τα δύο είδη διαστολής, η πλοήγηση με GPS θα κατέρρεε μέσα σε λίγες ώρες:

Λόγω ταχύτητας: οι δορυφόροι του GPS κινούνται με 14.000 χλμ/ώρα, κι έτσι τα ατομικά τους ρολόγια πάνε πιο αργά κατά περίπου 7 μικροδευτερόλεπτα την ημέρα (ειδική σχετικότητα).
Λόγω βαρύτητας: βρίσκονται 20.000 χλμ πάνω από τη Γη, όπου η βαρύτητα είναι ασθενέστερη, κι έτσι τα ρολόγια τους πάνε πιο γρήγορα κατά 45 μικροδευτερόλεπτα την ημέρα (γενική σχετικότητα).

Συνολικά, οι μηχανικοί πρέπει να ρυθμίσουν τα ρολόγια των δορυφόρων κατά 38 μικροδευτερόλεπτα την ημέρα πριν από την εκτόξευση. Χωρίς αυτή τη διόρθωση, το στίγμα του GPS θα ξέφευγε πάνω από 10 χιλιόμετρα κάθε μέρα.